二項分布は、同じ成功確率で独立に試行を繰り返したとき、成功する回数の確率を表します。QC検定の学習では、まず「何を成功と数えるか」「何回試すか」「ちょうど何回か、何回以上か」を分けると、式に入れる数値を整理できます。
日本規格協会のレベル表では、2級の「統計的方法の基礎」に二項分布が確率計算を含む項目として記載されています。本稿はこの項目を学ぶ人向けの説明です。品質管理検定レベル表・2級
二項分布を使う前に確認する4つの条件
二項分布では、次の条件をそろえます。
- 試行回数があらかじめ決まっている。
- 1回の結果を、成功とそれ以外の二つに分けられる。
- 各試行が独立している。
- 成功する確率が各回で同じである。
ここでの「成功」は、数えたい結果につける名前です。不適合品を数える問題なら「不適合品である」を成功と呼べます。品質が良いという意味ではありません。大学統計教材「The binomial setting」
以下は学習用に作成した例です。実際の工程データや試験問題ではありません。製品を5個調べ、各製品が不適合品である確率は0.2、判定結果は互いに独立と仮定します。このとき数えるのは「5個中の不適合品数」です。1個に複数の傷がある場合の傷の総数とは区別してください。
n・p・X・kは何を表す？
| 記号 | 意味 | 今回の例 |
|---|---|---|
| n | 試行回数 | 調べる製品数5個 |
| p | 1回の成功確率 | 不適合品である確率0.2 |
| X | 成功回数を表す確率変数 | 5個中の不適合品数 |
| k | 注目する成功回数の値 | ちょうど1個なら1 |
| P(X=k) | 成功回数がkとなる確率 | 5個中ちょうど1個が不適合品となる確率 |
Xは0、1、2、3、4、5のいずれかを取ります。pは1個についての確率、P(X=1)は5個を調べた結果についての確率なので、同じものではありません。回数・個数と確率を混ぜず、確率は0から1の値、または百分率で表します。
「ちょうど1個」の確率を計算する
二項分布の確率は次の式で求めます。
P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k)
C(n,k)はn個からk個を選ぶ組合せの数で、n! ÷ {k!(n−k)!}です。階乗n!は1からnまでの整数の積で、0!は1とします。式と確率変数の範囲はNIST「Binomial Distribution」で確認できます。
今回のn=5、p=0.2、k=1を入れると、
P(X=1) = 5 × 0.2 × 0.8^4 = 0.4096 = 40.96％
となります。0.2は不適合品1個、0.8^4は残り4個が適合品となる部分です。
なぜ5を掛けるのでしょうか。「最初の1個だけが不適合品」と位置を決めた場合は0.2×0.8^4ですが、不適合品の位置は1番目から5番目まで5通りあります。「ちょうど1個」はこの5通りすべてを含むためです。
「ちょうど」「以下」「以上」で足す範囲が変わる
同じ5個の検査でも、尋ね方によって答えは変わります。
| 問い | 数える範囲 | 計算 | 確率 |
|---|---|---|---|
| 0個 | X=0 | 0.8^5 | 0.32768 |
| ちょうど1個 | X=1 | 5×0.2×0.8^4 | 0.4096 |
| 1個以下 | X=0または1 | 0.32768＋0.4096 | 0.73728 |
| 少なくとも1個 | X=1〜5 | 1−0.32768 | 0.67232 |
| 2個以上 | X=2〜5 | 1−0.73728 | 0.26272 |
「少なくとも1個」は「0個ではない」と読み替えられます。「2個以上」は「1個以下ではない」なので、1から引く対象が変わります。公式に数を入れる前に、対象となるXの値を紙に書いてみましょう。確率を足す範囲の考え方はNISTの累積確率の式に対応します。
条件を変えても同じ式でよい？
成功を「適合品」に変える
同じ検査で適合品数をYとすると、成功確率は0.8、Y=5−Xです。不適合品がちょうど1個の出来事は、適合品がちょうど4個の出来事と一致します。
P(Y=4) = C(5,4) × 0.8^4 × 0.2 = 0.4096
成功の定義を変えたら、確率だけでなく数える個数も変えます。pだけを0.8に置き換えてk=1のまま計算すると、別の出来事を求めてしまいます。
取り出した製品を戻さない
不適合品2個を含む10個の中から、無作為に1個ずつ、戻さずに取り出す例を考えます。最初に不適合品を引いた後、次も不適合品となる確率は1/9。最初が適合品なら次の確率は2/9です。
この条件付き確率の違いから、各回を独立・同じ成功確率として扱えません。最初の不適合品率が0.2だからといって、上の二項分布の式をそのまま当てはめないようにします。
初めて不適合品が出たら検査を終える
この場合、知りたいのは「決まった個数の中の不適合品数」ではなく、「初めて出るまでの検査回数」です。試行回数を先に固定するという条件と異なります。何を確率変数としているかに戻って読み直してください。
平均npは、毎回出る個数ではない
二項分布の平均はnp、分散はnp(1−p)、標準偏差はその平方根です。NIST「Common Statistics」
今回の平均は5×0.2=1個、分散は5×0.2×0.8=0.8、標準偏差は約0.894個です。平均が1個でも、毎回ちょうど1個になるわけではありません。実際、ちょうど1個の確率は先ほどの40.96％です。平均を答える問題と、ある個数になる確率を答える問題を区別しましょう。
次の演習では「定義→条件→範囲」を書く
復習では、答えを見る前に次の三つを書いてみてください。これはTOKINASUからの学習提案です。
- 成功を何と定義し、n・p・Xをどう置いたか。
- 試行回数・二つの結果・独立性・一定の確率を確認したか。
- 問われた範囲は「ちょうど」「以下」「以上」のどれか。
確認問題として、同じ例の「不適合品がちょうど2個」を計算してみましょう。答えはC(5,2)×0.2^2×0.8^3=0.2048です。「2個以上」の0.26272とは一致しません。
復習の順番を組み直したいときはQC検定2級の学習計画、受検級を整理したいときはQC検定1〜4級の違いを参考にしてください。TOKINASUのQC検定2級コースでは、学習内容を確認し、今のつまずきに対応する教材を選びましょう。
出典・公式範囲の確認日：2026年11月12日。