作業環境測定の幾何平均とは？対数と算術平均の違いを計算例で理解

作業環境測定で学ぶ幾何平均は、各測定値の対数を取り、その平均を元の尺度に戻した値です。「対数の平均」を求めただけでは計算は終わりません。常用対数なら、最後に10の累乗で戻すところまでが一組です。

この記事では、第2種作業環境測定士を学ぶ人に向けて、算術平均との違いと、数値の条件を変えたときの考え方を整理します。計算例はすべて説明用の自作データで、実際の測定記録や試験問題ではありません。制度・出典の確認日は2026年11月12日です。

幾何平均は「掛け算」と「対数」で表せる

正の値がn個あるとき、幾何平均Gは、すべてを掛け合わせた値のn乗根です。各値をx₁、x₂、…、xₙとすれば、次の形になります。

G＝(x₁×x₂×…×xₙ)^(1/n)

この定義はNISTのGeometric Meanで確認できます。2個なら平方根、3個なら3乗根を取ります。

同じ値は、対数を使っても計算できます。ここではlog₁₀を底が10の常用対数とします。

log₁₀G＝(log₁₀x₁＋log₁₀x₂＋…＋log₁₀xₙ)÷n

G＝10^(対数の平均)

CDCの統計教材も、各値の対数を取る、対数を平均する、逆変換するという手順を示しています。以下では、濃度の単位をそろえたうえで、その数値部分を計算します。最後に得た幾何平均には元の濃度の単位を付けます。

濃度が1、10、100 mg/m³だったとします。常用対数は順に0、1、2です。

積から計算しても、(1×10×100)^(1/3)＝10となり一致します。

ここで「対数の平均が1だから幾何平均は1 mg/m³」とすると、元の尺度に戻す操作が抜けています。1はlog₁₀Gに当たる数値で、Gは10 mg/m³です。

また、1→10→100は、増える量が9、90と異なる一方で、どちらも10倍です。対数を取ると0→1→2になり、等しい倍率が等しい間隔で表れます。幾何平均が倍率の関係を考える際に使いやすいことを、この例で確認できます。

算術平均の37と幾何平均の10は、同じデータを異なる方法で要約した結果です。値が違うからといって、一方が計算ミスとは限りません。問題文でどちらを求めているかを先に確かめましょう。

先ほどのデータを2、20、200 mg/m³に変えます。

G＝(2×20×200)^(1/3)＝8,000^(1/3)＝20 mg/m³

各値を2倍にしたので、幾何平均も10から20へ2倍になりました。一般に正の定数cを各値に掛けると、積はc^n倍になり、そのn乗根を取るため、幾何平均はc倍になります。

単位をmg/m³からμg/m³へそろえて換算する場合も同じです。各数値を1,000倍にすれば、幾何平均の数値も1,000倍になります。単位の違う数値を混ぜたまま平均しないことが大切です。

濃度が5、5、5 mg/m³なら、算術平均は15÷3＝5 mg/m³、幾何平均は125^(1/3)＝5 mg/m³です。

「幾何平均は算術平均と必ず違う」と覚えると、このケースでつまずきます。何が同じで何が変わったかを、元のデータに戻って確かめてください。

0.1、1、10 mg/m³の常用対数は、−1、0、1です。対数の平均は0なので、幾何平均は10^0＝1 mg/m³になります。

対数がマイナスでも、元の濃度が負という意味ではありません。0.1＝10^(−1)のように、1未満の正の数を表しています。

実数の対数では、0や負の数の対数は定義できません。そのため、この記事の「対数を平均する」手順に0をそのまま入れることはできません。

また、定量下限未満という結果を、自己判断で0に置き換えないでください。作業環境評価基準の第2条第2項には、定量下限に満たない測定点の値を、当該定量下限の値とみなして区分する規定があります。学習では、数式の入力条件と、評価基準上の扱いを分けて確認します。

同条第3項には、管理濃度の10分の1未満の測定点について、管理濃度の10分の1を測定値とみなして区分することができる規定もあります。第2項の定量下限未満の扱いとは、適用する条件も置き換える値も異なり、第3項は任意の規定です。

作業環境評価基準の第3条では、A測定の評価値の計算に、幾何平均値と幾何標準偏差を用いています。幾何平均を求めることは、評価の計算に進むための一段階です。

たとえば、1、10、100と、10、10、10は、どちらも幾何平均が10です。しかし、値の散らばり方は違います。代表値が同じというだけで、測定結果全体が同じとはいえません。

管理区分は第2条に定める比較によって決めるため、「幾何平均が管理濃度より低ければ第一管理区分」と短絡しないようにしましょう。まず幾何平均の計算を理解し、その後に幾何標準偏差、評価値、管理区分の順で整理すると、式の役割を分けやすくなります。

仕上げに、濃度が2、8 mg/m³の2点だった場合を考えてみてください。

対数から求めても、log₁₀2≒0.30103、log₁₀8≒0.90309なので、その平均は約0.60206。10^0.60206≒4となります。途中の対数を粗く丸めると結果にずれが出るため、途中計算の桁を残し、最後に問題の指定に合わせて丸めましょう。

解き直すときは、「求める平均の種類」「対数を取る前の単位」「元の尺度への戻し方」の3点を自分で説明してみてください。

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