作業環境測定の学習で出てくる幾何標準偏差は、値が中心から倍率としてどれくらい広がっているかを表す指標です。幾何平均が濃度の中心を示すのに対して、幾何標準偏差はばらつきに着目します。
「濃度をすべて2倍にしたら、幾何標準偏差も2倍になるのか」を説明できると、両者の違いが見えてきます。答えは、幾何平均は2倍になり、幾何標準偏差は変わりません。ここでは、その理由を小さなデータで確かめます。
幾何標準偏差は「対数を取ってから」求める
幾何標準偏差は、データを対数に変換し、その標準偏差を求めて、元の尺度へ戻したものです。NISTの定義も、対数値の標本標準偏差を指数に戻す形で示されています。
この記事では、正の値だけを扱い、常用対数をlog、対数値の標本標準偏差をs、幾何標準偏差をGSDと書きます。
GSD＝10のs乗
sが0ならGSDは1です。ばらつきが増えてsが大きくなるほど、GSDも大きくなります。対数値の標準偏差sと、指数に戻したGSDを同じ数値として扱わないことがポイントです。
幾何平均と幾何標準偏差を比較する
以下はすべて理解のために作った計算例です。実測結果や法定の測定点数を示すものではなく、管理区分の判定にも用いません。濃度の単位はmg/m³にそろえ、標本標準偏差の分母にはn−1を使っています。
| 例 | 濃度の値（mg/m³） | 幾何平均（mg/m³） | 幾何標準偏差 |
|---|---|---|---|
| A | 1、2、4 | 2 | 2 |
| B | 0.5、2、8 | 2 | 4 |
| C | 2、4、8 | 4 | 2 |
| D | 2、2、2 | 2 | 1 |
AとBは中心が同じですが、Bのほうが中心に対する倍率の広がりが大きくなっています。一方、CはAの各値を2倍したもので、濃度水準は上がっていても、相対的な広がりは同じです。
Dはすべて同じ値です。ばらつきがない場合、通常の標準偏差は0ですが、幾何標準偏差は1になります。
1、2、4から幾何標準偏差2を求める
例Aを計算します。幾何平均は、積の3乗根から求めると、(1×2×4)の3乗根＝2です。
次に、各値の常用対数を取ります。
| 元の値 | 常用対数（概数） | 対数の平均との差 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | −0.30103 |
| 2 | 0.30103 | 0 |
| 4 | 0.60206 | ＋0.30103 |
対数の平均は0.30103です。平均との差を2乗して合計し、n−1＝2で割って平方根を取ります。
s＝√{[(−0.30103)²＋0²＋0.30103²]÷2}＝0.30103
最後に指数に戻すと、GSD＝10の0.30103乗≒2となります。計算を0.30103で止めず、どちらの値を問われているか確かめてください。
自然対数lnを使う場合は、最後にeのs乗で戻します。対数の底と、元に戻すときの底を組み合わせる必要があります。また、問題文に標準偏差の計算式が指定されていれば、その分母を確認しましょう。nとn−1を入れ替えると、同じデータでも結果が変わります。
条件を変えたときの3つの見分け方
全値を同じ倍率にしても、幾何標準偏差は変わらない
正の定数kで全値を掛けると、log(kx)＝log(k)＋log(x)です。対数の各値にも平均にも同じlog(k)が加わるため、平均との差は変わりません。したがってsもGSDも同じになります。
例AからCへの変更がこのケースです。同じ理由で、mg/m³からµg/m³へ単位を統一して換算しても、幾何標準偏差は変わりません。GSD自体に濃度の単位を付けないのは、こうした倍率の広がりを表すためです。
「中心±幾何標準偏差」とは読まない
幾何平均2、GSD2という数値を、2±2と足し引きするのは誤りです。倍率の目安として中心の上下を考えるなら、2÷2＝1と2×2＝4のように、割り算と掛け算で見ます。
ただし、この両端だけで全測定値がその中に収まると断定することはできません。表の例Aで両端と測定値が一致するのは、そうなるように作ったデータだからです。
0や負の値を、そのまま対数に入れない
この計算では正の値の対数を使います。0や負の値が出てきたら、同じ手順で計算を進める前に、値の意味と指定された扱いを確認します。検出下限未満の値などを、自己判断で0や別の数に置き換える手順としては使わないでください。
測定値のばらつきと、作業環境の評価式を分ける
作業環境評価基準では、A測定の幾何平均値と幾何標準偏差を使って評価値を求めます。厚生労働省「作業環境評価基準」第三条の第1項の式には、対数の幾何標準偏差を2乗した項に0.084を加える処理があります。
ここで、測定値から求める幾何標準偏差そのものと、評価値の式に含まれる補正項を混同しないようにします。全測定値が等しいときにGSDが1となることと、評価式の中の項が0になることは別です。
また、同条第2項では、原則として連続する二作業日に測定した場合、第一評価値・第二評価値を同項の別の式で計算することができます。連続する二作業日に測定できない合理的な理由がある場合に限り、必要最小限の間隔を空けた二作業日も対象になります。問題を解くときは、まず「測定値の幾何標準偏差を求める問題か」「評価値を求める問題か」「どの測定条件か」を分けて読みましょう。幾何標準偏差だけで管理区分を決めることはできません。
公式資料の確認日：2026年11月12日。
演習では、変わる値を先に予想する
計算前に、次の3問へ理由付きで答えてみてください。
- 1、2、4を10、20、40に変えたら、幾何平均とGSDはどうなるか。
- 2、2、2のGSDは0か、1か。
- 幾何平均が同じ2でも、例AとBで違うのは何か。
答えは、順に「幾何平均は10倍、GSDは同じ2」「1」「中心に対する倍率の広がり」です。式を覚えるだけでなく、計算結果がこの予想と合うか確かめると、対数から戻し忘れたミスにも気づきやすくなります。
関連する問題で、中心・ばらつき・評価値のどこを問われているか整理してみましょう。復習時間を予定に組み込みたい人は、理解度から週間計画を立てる方法も参考になります。