QC検定の分散分析｜群間と群内のばらつきを例で理解する

分散分析の「群間」は各群の平均と全体平均の差、「群内」は各データとその群の平均の差に着目します。同じ平均差でも、群内の散らばりが変われば、平均との差の評価も変わります。

QC検定の分散分析を学ぶ人に向けて、一つの因子を扱う一元配置の例で整理します。以下のデータは独自に作成した学習用の数値で、実測値や試験問題ではありません。復習の順序はTOKINASUの提案です。

群間・群内は、差を取る相手が違う

作業方法A・B・Cを比べる場面を考えます。「作業方法」が因子、A・B・Cがその水準です。各方法で得たデータを一つの群にまとめます。

一元配置の分散分析では、この違いを平方和で表し、自由度で割った平均平方の比を使って評価します。群内は誤差とも呼びますが、測定ミスだけを指す言葉ではありません。NIST「One-Way ANOVA」

平均や平方和の計算自体で迷う場合は、先に平均・範囲・分散を一つの例で確認する記事へ戻れます。

測定値を作業時間（分）とします。

全9個の合計は99分、全体平均は11分です。

Aの「8分」を見ると、群内の差は 8−9＝−1分。一方、Aの群平均と全体平均の差は 9−11＝−2分です。全体平均からの差は8−11＝−3分で、−1と−2の和になっています。

Aでは、平均との差は−1、0、1なので、二乗して足すと1＋0＋1＝2分²です。BとCも各群平均からの差は同じです。

群内平方和 S_E＝2＋2＋2＝6分²

Bの値からAの平均9を引く、という計算にはしません。差を取る相手は、あくまでその値が属する群の平均です。

群平均9、11、13と全体平均11の差は−2、0、2分です。群間平方和には、それぞれの群のデータ数も掛けます。

群間平方和 S_A＝3×(9−11)²＋3×(11−11)²＋3×(13−11)²＝24分²

二乗した差を足すだけの8分²ではありません。各群に3個ずつある点を反映して24分²となります。

全体平方和S_Tは、全9個から全体平均11を引いて二乗した和で、30分²です。ここでは S_T＝S_A＋S_E＝24＋6＝30 と一致します。NISTはこの平方和の分解と、群ごとの個数を掛ける一般式を示しています。NIST「One-way ANOVA overview」

今回の群数は3、全データ数は9です。群間の自由度は3−1＝2、群内は9−3＝6、全体は9−1＝8になります。

要因	平方和（分²）	自由度	平均平方（分²）	F比
群間（方法）	24	2	12	12
群内（誤差）	6	6	1	—
全体	30	8	—	—

平均平方は平方和を自由度で割った値です。F比は群間平均平方÷群内平均平方＝12÷1＝12。平方和をそのまま割った24÷6＝4とは異なります。同じ単位同士を割るのでF比には単位がありません。表の構造とF比の定義はNISTの一元配置の分散分析表に基づきます。

次は各群の平均を変えず、データの散らばりだけを広げます。

群数も各群の個数も同じで、群平均と全体平均も変わりません。そのため群間平方和は24分²のままです。

各群内の差は−3、0、3となり、二乗和は9＋0＋9＝18分²。3群を合わせると群内平方和は54分²です。

「群平均が9、11、13だから同じ評価になる」とは言えません。今回の対照例では、群内の散らばりが大きくなるとF比は小さくなりました。平均との差だけでなく、その背景にある群内のばらつきを一緒に見る理由が分かります。

ここで扱う固定効果の一元配置モデルでは、誤差の独立性・正規性と共通の分散を仮定します。表へ数字を入れられることと、そのモデルを適用できることは別に確認が必要です。NIST「The one-way ANOVA model and assumptions」

検定では「各群の母平均がすべて等しい」という帰無仮説を置きます。F比を、設定した有意水準と自由度に対応するF分布の上側の限界値と比較して判断します。F比が1を超えたというだけで有意とはしません。本記事の二つの例は、計算の比較までを扱っています。NIST「One-Way ANOVA」のTesting

解き直すときは、次の順序で確かめてみてください。

追加の確認として、最初の例の全データに5分を足してみましょう。群平均と全体平均も5分ずつ増えるため、差は変わりません。群間・群内の平方和とF比は元のままになるはずです。

計算以外の弱点も整理したい人は、QC検定2級の学習計画を使い、用語・条件・計算のどこへ戻るかを決められます。TOKINASUで学ぶ場合は、公開中のQC検定2級コースの教材構成を確認し、自分の復習したい項目と照らし合わせてください。

統計資料・コース公開状況の確認日：2026年11月12日。