QC検定の学習で正規分布の計算に迷ったら、**「値を標準化する」「求める領域を決める」「表の面積を読み替える」**の三つに分けてみましょう。zの計算が合っていても、右側の確率を聞かれて左側の値を答えると、別の量になってしまいます。
ここでは2級を学ぶ人に向けて、平均と標準偏差が与えられた正規分布を扱います。数値例はすべて独自に作成した学習用の仮定で、実測値や公式試験問題ではありません。復習の手順はTOKINASUの学習提案です。
正規分布は平均と標準偏差を分けて読む
正規分布は平均μを中心に左右対称な分布です。標準偏差σはばらつきを表します。平均0、標準偏差1のものを標準正規分布と呼びます。NIST「Normal Distribution」
記号を見たら、次のように問題の値を書き添えてください。
| 記号 | 意味 | 今回の設定 |
|---|---|---|
| X | 寸法を表す確率変数 | 正規分布に従うと仮定 |
| μ | 平均 | 50 mm |
| σ | 標準偏差 | 2 mm |
| x | 確率を求める際の境界 | 54 mm |
ここでの対象は個々の寸法です。標本平均の分布を求める問題とは区別します。また、どの測定値も正規分布に従うと決めつけず、まず設問に置かれた前提を確認しましょう。
分散と標準偏差の区別で止まる場合は、平均・分散・標準偏差を一つの例で確認する記事へ戻ると、単位も含めて整理できます。
標準化は「平均から標準偏差何個分か」を計算する
標準化では、値から平均を引き、標準偏差で割ります。
z = (x − μ) ÷ σ
この変換によって、元の単位が異なる正規分布でも標準正規分布の表で確率を調べられます。NIST「標準正規分布表の使い方」
今回の境界54 mmなら、z = (54 − 50) ÷ 2 = 2。平均より標準偏差2個分だけ大きい位置です。mm同士を割るため、zにmmは付きません。
46 mmならz = (46 − 50) ÷ 2 = −2。負号は平均の左側にあることを表し、負の確率という意味ではありません。
分母は標準偏差です。分散4 mm²が与えられた場合は、その平方根である2 mmを使います。「4」と「2」の取り違えは、表を見る前に直す必要があります。
確率表は「どの面積か」を先に確認する
表題だけで数値の意味を決めず、付属の図や定義を読みましょう。表の値を次の三つのどれとして扱うかで計算が変わります。
| 表が示す領域 | 記号で書くと | z=2での値（約） |
|---|---|---|
| 左端からzまで | P(Z≤z) | 0.97725 |
| zより右側 | P(Z>z) | 0.02275 |
| 中央0からzまで（z≥0） | P(0≤Z≤z) | 0.47725 |
参照したNISTの表は、0からzまでの面積を載せています。z=2.00は行「2.0」と列「0.00」の交点で、0.47725です。左側全体なら0.5を足し、右側なら0.5から引きます。NIST「標準正規分布表」
次の図は、位置と領域の対応を示した自作の数直線です。
元の寸法 → 標準化後
46 mm → −2
50 mm → 0
54 mm → 2
−2 0 2
←─────|───|────|────→
中央の区間：−2〜2
左の外側：−2より左
右の外側：2より右
0.47725をそのまま「54 mmを超える確率」と答えないことがポイントです。表の数値を書き写す前に、求める側を図に印で示してください。
同じ条件で片側・両側・区間を計算する
平均50 mm、標準偏差2 mmの設定を使います。以下は表の丸め値による計算です。
| 求めること | 標準化後の領域 | 計算 | 確率（約） |
|---|---|---|---|
| 54 mmを超える | Z>2 | 0.5−0.47725 | 0.02275＝2.275% |
| 46 mm未満 | Z<−2 | 対称性から右側と同じ | 0.02275＝2.275% |
| 46〜54 mmに入る | −2≤Z≤2 | 2×0.47725 | 0.95450＝95.450% |
| 46〜54 mmの外に出る | Z<−2 または Z>2 | 2×0.02275 | 0.04550＝4.550% |
両側の確率を単純に2倍できるのは、ここでは境界が平均から同じ距離にあるためです。区間が変わったときも、同じ処理をしてよいとは限りません。
たとえば48〜54 mmでは、標準化後は−1〜2です。0〜1の面積0.34134と0〜2の面積0.47725を足し、**0.81859、約81.859%**になります。境界を二つとも標準化してから領域を考えましょう。
平均か標準偏差が変わると、同じ54 mmでも答えが変わる
「54 mmを超える」という問いを固定し、条件だけ変えてみます。
| 設定 | 平均μ | 標準偏差σ | 54 mmのz | 超える確率（約） |
|---|---|---|---|---|
| A | 50 mm | 2 mm | 2 | 2.275% |
| B | 52 mm | 2 mm | 1 | 15.866% |
| C | 50 mm | 4 mm | 1 | 15.866% |
Bは平均が境界に近づき、Cは標準偏差が大きくなった設定です。理由は異なりますが、54 mmが平均から標準偏差1個分の位置になる点は共通しています。右側の確率は、いずれも0.5−0.34134で求められます。
練習では表の答えを隠し、各行のzと求める領域を説明してみてください。「境界の数値が同じだから確率も同じ」と考えていないかを確かめられます。
復習は間違えた段階へ戻る
解き直しでは、次の順に手元の答案を確認しましょう。
- 正規分布という前提、対象、平均、標準偏差を確認する。
- 境界をすべて標準化し、正負と単位を確かめる。
- 左側・右側・区間・区間外のどれを求めるか図に示す。
- 表が示す面積を確認して、足す・引く操作を選ぶ。
- 確率を百分率で答えるなら100倍し、設問の桁数に合わせる。
zを誤ったら平均・標準偏差の代入へ、zが合っているのに答えが違ったら領域と表の定義へ戻ります。学習全体への組み込み方は、QC検定2級の学習計画で整理できます。
演習先を探している場合は、TOKINASUのQC検定2級コースで案内を確認してください。まずは上のA・B・Cを解き直し、「何が変わってzが変わったか」を一文で説明するところから始めましょう。
資料確認日：2026年11月12日。