QC検定の回帰分析で区別したいのは、予測値は回帰式から計算する値、残差は観測値からその予測値を引いた値という点です。先に予測値を求め、次に観測値との差を取ると、式と符号を整理できます。
QC検定2級の公式マトリックスには「単回帰式の推定」があり、回帰診断の項目には「2級は残差の検討」と明記されています。この記事では、その学習の入口となる予測値と残差に絞ります。日本規格協会「品質管理検定マトリックス手法編」2ページ
以下の数値はTOKINASUが作った学習用の仮例です。実際の工程データや試験問題ではありません。学習手順も編集上の提案です。
まずx・y・ŷの役割を分ける
一つの説明変数xを使う直線の回帰式を、ŷ = a + bxと書きます。ŷは「ワイハット」と読み、ここでは回帰式による予測値を表します。回帰式を当てはめたデータについては、当てはめ値とも呼びます。
| 記号 | 役割 | 今回の例での単位 |
|---|---|---|
| x | 予測に使う説明変数：処理量 | kg |
| y | 観測された応答：作業時間 | 分 |
| ŷ | 回帰式から求めた作業時間の予測値 | 分 |
| a | 切片 | 分 |
| b | xが1単位増えたときの予測値の変化量：傾き | 分/kg |
| e | 残差：y−ŷ | 分 |
残差は同じxに対応する観測値と予測値の差です。NISTも、観測された応答から回帰関数による予測を引く形で定義しています。NIST「モデルの適合と残差」
予測値を計算してから、残差を求める
すでに求められた回帰式が ŷ = 10 + 2x だったとします。以下は、その式を使う練習です。表の数値から係数10と2を推定する問題ではありません。
処理量xが3kgなら、予測値は次のとおりです。
ŷ = 10 + 2 × 3 = 16分
このとき、実際に観測された時間yが18分なら、残差は次のようになります。
e = y − ŷ = 18 − 16 = +2分
「予測より2分長かった」と読めます。残差は16分でも18分でもなく、両者の差の2分です。
同じ処理量で観測値が違う場合も比べましょう。
| x（kg） | 観測値y（分） | 予測値ŷ（分） | 残差e（分） | 読み取り |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 18 | 16 | +2 | 観測値が予測値より上 |
| 3 | 14 | 16 | −2 | 観測値が予測値より下 |
| 3 | 16 | 16 | 0 | 観測値と予測値が一致 |
同じ回帰式に同じxを入れれば、予測値は同じです。一方、残差は観測値によって変わります。散布図でxを横軸、yを縦軸に取ると、この差は同じxでの縦方向のずれに当たります。
残差の正負は、ここでは時間が予測より長いか短いかを示します。良品・不良品の判定基準はこの例に与えられていないため、符号だけで品質の良し悪しは決められません。
条件が変わったら、何を計算し直すか
計算を覚えた後は、変える条件を一つずつ選びます。同じ式ŷ=10+2xを使って、次の三つを解いてください。
| 変更する条件 | 与えられる値 | 予測値 | 残差 |
|---|---|---|---|
| 処理量と観測値を変える | x=4kg、y=17分 | 18分 | −1分 |
| まだ時間を測っていない | 新しいx=5kg、yは不明 | 20分 | 計算できない |
| 時間の表示単位を秒に変える | x=3kg、y=1,080秒 | 960秒 | +120秒 |
1行目では、前の予測値16分を使い回さず、10+2×4=18分に更新します。17−18=−1なので、観測値は予測より1分短いと読めます。
2行目では、式への代入はできますが、引き算に必要な観測値がありません。残差の欄を0で埋めないことがポイントです。0と書くと「観測値と予測値が一致した」という別の意味になります。
3行目では、観測値だけでなく予測値も秒にそろえます。回帰式を秒で書けばŷ=600+120xです。1,080−960=120秒となり、元の+2分と一致します。
なお、新しいxが回帰式を作ったデータの範囲内かどうかは別に確認します。範囲外への予測は外挿であり、代入できることだけでは予測の信頼性を判断できません。NIST「線形最小二乗回帰」
残差と、平均からの偏差を取り違えない
残差で引くのは、そのxに対応する予測値ŷです。平均からの偏差なら、引くのは平均ȳです。
- 残差：y−ŷ
- 平均からの偏差：y−ȳ
何を基準に差を取るかを、式の横に書いてみましょう。「回帰直線からのずれ」を計算したいのに平均を引いていたら、基準を取り違えています。平均や平方和の基礎に戻りたい場合は、平均・範囲・分散を一つの例で確認する記事を使えます。
残差は符号を足すだけで評価しない
最初の比較表では残差が+2、−2、0なので、その合計は0です。それでも二つの観測値は予測値からずれています。残差の合計が0だから、すべての予測が一致したとは言えません。
残差を二乗して足すと、2²+(−2)²+0²=8分²となります。最小二乗法は、このような残差平方和を最小にするよう回帰式の係数を求める方法です。NIST「線形最小二乗回帰」
さらに残差の検討では、個々の大きさに加え、並び方にも目を向けます。NISTは、残差にランダムでない構造が見られる場合、モデルの適合が悪い兆候になると説明しています。NIST「モデルの適合と残差」
計算練習を終えたら、教材の残差の図で「横軸は何か」「正負や大きさに規則的な並びがないか」を確認する学習へ進みましょう。
次の演習では、式・代入・解釈を一組にする
復習メモには、次の三行を残してください。
- 予測値：ŷ=10+2×4=18分。
- 残差：e=17−18=−1分。
- 解釈：観測された作業時間は、予測より1分短い。
間違えた場合は、代入するx、引き算の順序、単位のどこが原因だったかを記します。2級全体の復習順を組み直すときは、QC検定2級の学習計画も参照できます。
演習を続ける際は、TOKINASUのQC検定2級コースで学習内容を確認してください。まずは本記事の観測値を一つ変え、予測値と残差のうちどちらが変わるかを、答えを見ずに説明してみましょう。
資料の確認日：2026年11月12日。